Fórmula del Área de un Sector Circular

Deducción de la Fórmula

Vamos a deducir la fórmula para calcular el área de un sector circular. Para ello, partiremos de un ejemplo concreto y luego generalizaremos el razonamiento.

Ejemplo: Sector Circular de 60°

Imagina un círculo dividido en 6 sectores iguales. Como un círculo completo tiene 360°, cada uno de estos sectores tendrá un ángulo central de: \[ \frac{360°}{6} = 60° \]

El sector con un ángulo central de 60° representa \( \frac{60°}{360°} = \frac{1}{6} \) (un sexto) del círculo completo. Por lo tanto, su área será la sexta parte del área total del círculo.

Si el radio del círculo es \( r \), el área del círculo completo es \( \pi r^2 \). Entonces, el área del sector de 60° es: \[ A_\text{sector} = \frac{1}{6} \pi r^2 \]

Generalización a Otros Ángulos

Podemos aplicar el mismo razonamiento a sectores con otros ángulos centrales:

• 90°: Un sector de 90° representa \( \frac{90°}{360°} = \frac{1}{4} \) del círculo. Su área será \( \frac{1}{4} \pi r^2 \).
• 120°: Un sector de 120° representa \( \frac{120°}{360°} = \frac{1}{3} \) del círculo. Su área será \( \frac{1}{3} \pi r^2 \).
• 180°: Un sector de 180° representa \( \frac{180°}{360°} = \frac{1}{2} \) del círculo. Su área será \( \frac{1}{2} \pi r^2 \).

Fórmula General

A partir de estos ejemplos, podemos generalizar la fórmula para calcular el área de un sector circular con cualquier ángulo central (\( \alpha \)):

\[ A_\text{sector} = \frac{\alpha}{360°} \bullet \pi r^2 \]

Donde:

• \( A_\text{sector} \) es el área del sector circular.
• \( \alpha \) es el ángulo central del sector en grados.
• \( r \) es el radio del círculo.

Ejercicios y Problemas

Nivel 1: Aplicación Directa de la Fórmula

1. Calcula el área de un sector circular con un ángulo central de 45° y un radio de 8 cm. (Usa \( \pi \approx 3.14 \)) Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   \[ A_\text{sector} = \frac{45°}{360°} \bullet 3.14 \bullet (8)^2 = \frac{1}{8} \bullet 3.14 \bullet 64 = 25.12 \]
   Respuesta: Área ≈ 25.12 cm²
2. Un sector circular tiene un ángulo central de 150° y un radio de 12 cm. Calcula su área aproximada usando \( \pi \approx 3.14 \) y redondeando a un decimal. Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   \[ A_\text{sector} = \frac{150°}{360°} \bullet 3.14 \bullet (12)^2 = \frac{5}{12} \bullet 3.14 \bullet 144 = 188.4 \]
   Respuesta: Área ≈ 188.4 cm²
3. Calcula el área de un sector circular con un ángulo central de 240° y un radio de 9 cm. Expresa el resultado en términos de \( \pi \). Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   \[ A_\text{sector} = \frac{240°}{360°} \bullet \pi \bullet (9)^2 = \frac{2}{3} \bullet \pi \bullet 81 = 54\pi \]
   Respuesta: Área = \( 54\pi \) cm²
4. Un sector circular tiene un ángulo central de \( \theta \)° y un radio de \( R \). Escribe la fórmula para calcular el área del sector en términos de \( \theta \) y \( R \). Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   \[ A_\text{sector} = \frac{\theta}{360°} \bullet \pi \bullet R^2 \]
   Respuesta: \[ A_\text{sector} = \frac{\theta}{360°} \bullet \pi \bullet R^2 \]
5. Calcula el área de un sector circular con un ángulo central de 120° y un radio de 6 cm. (Expresa el resultado en términos de \( \pi \)) Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   \[ A_\text{sector} = \frac{120°}{360°} \bullet \pi \bullet (6)^2 = \frac{1}{3} \bullet \pi \bullet 36 = 12\pi \]
   Respuesta: Área = \( 12\pi \) cm²
6. Un sector circular tiene un ángulo central de 300° y un radio de 5 cm. Calcula su área. Usa \( \pi \approx 3.14 \) y redondea a dos decimales. Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   \[ A_\text{sector} = \frac{300°}{360°} \bullet 3.14 \bullet (5)^2 = \frac{5}{6} \bullet 3.14 \bullet 25 = 65.4166...\]
   Respuesta: Área ≈ 65.42 cm²
7. Calcula el área de un sector circular con un ángulo central de 75° y un radio de 4 cm. Usa \( \pi \approx 3.14 \) y redondea a dos decimales. Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   \[ A_\text{sector} = \frac{75°}{360°} \bullet 3.14 \bullet (4)^2 = \frac{5}{24} \bullet 3.14 \bullet 16 = 10.4666... \]
   Respuesta: Área ≈ 10.47 cm²
8. Un sector circular tiene un ángulo central de \( 2\alpha \)° y un radio de \( 3R \). Escribe la fórmula para calcular el área del sector en términos de \( \alpha \) y \( R \). Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   \[ A_\text{sector} = \frac{2\alpha}{360°} \bullet \pi \bullet (3R)^2 = \frac{\alpha}{180°} \bullet \pi \bullet 9R^2 = \frac{\alpha}{20} \bullet \pi \bullet R^2 \]
   Respuesta: \[ A_\text{sector} = \frac{\alpha}{20} \bullet \pi \bullet R^2 \]

Nivel 2: Problemas Inversos

9. El área de un sector circular es de \( 40\pi \) cm² y su ángulo central es de 72°. Calcula el radio del círculo. Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   Usamos la fórmula del área del sector: \[ A_\text{sector} = \frac{\alpha}{360°} \bullet \pi \bullet r^2 \] \[ 40\pi = \frac{72°}{360°} \bullet \pi \bullet r^2 \] \[ 40 = \frac{1}{5} \bullet r^2 \] \[ r^2 = 40 \bullet 5 = 200 \] \[ r = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \]
   Respuesta: \( r = 10\sqrt{2} \) cm
10. El área de un sector circular es de 15.7 cm² y su radio es de 5 cm. Calcula el ángulo central del sector. (Usa \( \pi \approx 3.14 \)) Mostrar/Ocultar Respuesta
    Solución:
    Usamos la fórmula del área del sector: \[ A_\text{sector} = \frac{\alpha}{360°} \bullet \pi \bullet r^2 \] \[ 15.7 = \frac{\alpha}{360°} \bullet 3.14 \bullet (5)^2 \] \[ 15.7 = \frac{\alpha}{360°} \bullet 3.14 \bullet 25 \] \[ \alpha = \frac{15.7 \bullet 360°}{3.14 \bullet 25} = 72 \]
    Respuesta: Ángulo central = 72°
11. El área de un sector circular es de \( 27\pi \) cm² y su ángulo central es de 120°. Calcula el radio del círculo. Mostrar/Ocultar Respuesta
    Solución:
    Usamos la fórmula del área del sector: \[ A_\text{sector} = \frac{\alpha}{360°} \bullet \pi \bullet r^2 \] \[ 27\pi = \frac{120°}{360°} \bullet \pi \bullet r^2 \] \[ 27 = \frac{1}{3} \bullet r^2 \] \[ r^2 = 27 \bullet 3 = 81 \] \[ r = \sqrt{81} = 9 \]
    Respuesta: r = 9 cm
12. El área de un sector circular es de 10.47 cm² y su radio es de 4 cm. Calcula el ángulo central del sector. (Usa \( \pi \approx 3.14 \) y redondea a 0 decimales) Mostrar/Ocultar Respuesta
    Solución:
    Usamos la fórmula del área del sector: \[ A_\text{sector} = \frac{\alpha}{360°} \bullet \pi \bullet r^2 \] \[ 10.47 = \frac{\alpha}{360°} \bullet 3.14 \bullet (4)^2 \] \[ 10.47 = \frac{\alpha}{360°} \bullet 3.14 \bullet 16 \] \[ \alpha = \frac{10.47 \bullet 360°}{3.14 \bullet 16} = 75.01...\]
    Respuesta: Ángulo central ≈ 75°
13. El área de un sector circular es de \( \frac{16}{3} \pi \) cm² y su radio es de 4 cm. Calcula el ángulo central del sector. Mostrar/Ocultar Respuesta
    Solución:
    Usamos la fórmula del área del sector: \[ A_\text{sector} = \frac{\alpha}{360°} \bullet \pi \bullet r^2 \] \[ \frac{16}{3} \pi = \frac{\alpha}{360°} \bullet \pi \bullet (4)^2 \] \[ \frac{16}{3} = \frac{\alpha}{360°} \bullet 16 \] \[ \alpha = \frac{\frac{16}{3} \bullet 360°}{16} = 120 \]
    Respuesta: Ángulo central = 120°
14. El área de un sector circular es de \( \frac{9}{8} \pi \) cm² y su ángulo central es de 45°. Calcula el radio del círculo. Mostrar/Ocultar Respuesta
    Solución:
    Usamos la fórmula del área del sector: \[ A_\text{sector} = \frac{\alpha}{360°} \bullet \pi \bullet r^2 \] \[ \frac{9}{8} \pi = \frac{45°}{360°} \bullet \pi \bullet r^2 \] \[ \frac{9}{8} = \frac{1}{8} \bullet r^2 \] \[ r^2 = \frac{9}{8} \bullet 8 = 9 \] \[ r = \sqrt{9} = 3 \]
    Respuesta: r = 3 cm

Nivel 3: Problemas de Aplicación

15. Un aspersor de riego cubre un sector circular con un ángulo de 100° y un radio de alcance de 12 metros. ¿Qué área del jardín riega el aspersor? Usa \( \pi \approx 3.14 \) y redondea a un decimal. Mostrar/Ocultar Respuesta
    Solución:
    Usamos la fórmula del área del sector: \[ A_\text{sector} = \frac{\alpha}{360°} \bullet \pi \bullet r^2 \] \[ A_\text{sector} = \frac{100°}{360°} \bullet 3.14 \bullet (12)^2 = \frac{5}{18} \bullet 3.14 \bullet 144 = 125.6 \]
    Respuesta: El aspersor riega aproximadamente 125.6 m².
16. Un limpiaparabrisas de 30 cm de longitud se mueve describiendo un ángulo de 150°. ¿Cuál es el área que limpia el parabrisas? Expresa el resultado en términos de \( \pi \). Mostrar/Ocultar Respuesta
    Solución:
    Usamos la fórmula del área del sector: \[ A_\text{sector} = \frac{150°}{360°} \bullet \pi \bullet (30)^2 = \frac{5}{12} \bullet \pi \bullet 900 = 375\pi \]
    Respuesta: El área que limpia el parabrisas es de \( 375\pi \) cm².
17. Un faro proyecta un haz de luz que cubre un sector circular con un ángulo de 135°. Si el alcance del haz de luz es de 25 millas, ¿cuál es el área iluminada por el faro? Usa \( \pi \approx 3.14 \) y redondea a dos decimales. Mostrar/Ocultar Respuesta
    Solución:
    Usamos la fórmula del área del sector: \[ A_\text{sector} = \frac{135°}{360°} \bullet 3.14 \bullet (25)^2 = \frac{3}{8} \bullet 3.14 \bullet 625 = 735.9375 \]
    Respuesta: El área iluminada por el faro es de aproximadamente 735.94 millas cuadradas.
18. Se quiere pintar un abanico que tiene forma de sector circular. El radio del abanico es de 40 cm y el ángulo central es de 160°. ¿Qué área se debe pintar? Usa \( \pi \approx 3.14 \) y redondea a un decimal. Mostrar/Ocultar Respuesta
    Solución:
    Usamos la fórmula del área del sector: \[ A_\text{sector} = \frac{160°}{360°} \bullet 3.14 \bullet (40)^2 = \frac{4}{9} \bullet 3.14 \bullet 1600 = 2232.888... \]
    Respuesta: Se debe pintar aproximadamente 2232.9 cm².
19. Una porción de pizza tiene forma de sector circular con un ángulo central de 50° y un radio de 20 cm. ¿Cuál es el área de la porción de pizza? Expresa el resultado en términos de \( \pi \). Mostrar/Ocultar Respuesta
    Solución:
    Usamos la fórmula del área del sector: \[ A_\text{sector} = \frac{50°}{360°} \bullet \pi \bullet (20)^2 = \frac{5}{36} \bullet \pi \bullet 400 = \frac{500}{9} \pi \]
    Respuesta: El área de la porción de pizza es de \( \frac{500}{9} \pi \) cm².
20. Un parque tiene forma de círculo con un radio de 50 metros. Se quiere destinar una sección del parque para un jardín de flores, con forma de sector circular y un ángulo central de 80°. ¿Cuál será el área del jardín de flores? Usa \( \pi \approx 3.14 \) y redondea a un decimal. Mostrar/Ocultar Respuesta
    Solución:
    Usamos la fórmula del área del sector: \[ A_\text{sector} = \frac{80°}{360°} \bullet 3.14 \bullet (50)^2 = \frac{2}{9} \bullet 3.14 \bullet 2500 = 1743.333... \]
    Respuesta: El área del jardín de flores será de aproximadamente 1743.3 m².