Fórmula del Perímetro de un Sector Circular

¿Qué es el Perímetro de un Sector Circular?

El perímetro de un sector circular es la suma de las longitudes de todos sus lados. Un sector circular tiene tres lados: dos radios y un arco.

Deducción de la Fórmula

Para calcular el perímetro de un sector circular, necesitamos sumar la longitud de los dos radios y la longitud del arco.

Los dos radios tienen la misma longitud, que es el radio del círculo (\(r\)). Entonces, la suma de los dos radios es \(2r\).

Calculando la Longitud del Arco

La longitud del arco se calcula en los siguientes pasos:

1. Primero, encuentra la circunferencia de todo el círculo: La circunferencia de un círculo completo es \( C = 2 \pi r \), donde \( r \) es el radio del círculo.
2. Luego, calcula qué fracción del círculo representa el sector: Para ello, dividimos el ángulo central (\( \alpha \)) del sector entre 360°, que es el ángulo de un círculo completo. La fracción será \( \frac{\alpha}{360°} \).
3. Finalmente, multiplica la circunferencia de todo el círculo por esta fracción: Esto nos dará la longitud del arco, que es la parte proporcional de la circunferencia. \[ L_\text{arco} = \frac{\alpha}{360°} \bullet 2 \pi r \]

Fórmula General del Perímetro de un Sector Circular

Sumando la longitud de los dos radios y la longitud del arco, obtenemos la fórmula general para el perímetro de un sector circular:

\[ P_\text{sector} = 2r + L_\text{arco} \] \[ P_\text{sector} = 2r + \frac{\alpha}{360°} \bullet 2 \pi r \]

Donde:

• \( P_\text{sector} \) es el perímetro del sector circular.
• \( r \) es el radio del círculo.
• \( L_\text{arco} \) es la longitud del arco.
• \( \alpha \) es el ángulo central del sector en grados.

Ejercicios y Problemas

Nivel 1: Aplicación Directa de la Fórmula

1. Calcula el perímetro de un sector circular con un ángulo central de 60° y un radio de 10 cm. (Usa \( \pi \approx 3.14 \)) Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   Primero, calculamos la longitud del arco: \[ L_\text{arco} = \frac{60°}{360°} \bullet 2 \bullet 3.14 \bullet 10 = \frac{1}{6} \bullet 62.8 = 10.466... \] Luego, calculamos el perímetro: \[ P_\text{sector} = 2 \bullet 10 + 10.466... = 20 + 10.466... = 30.466... \]
   Respuesta: Perímetro ≈ 30.47 cm
2. Un sector circular tiene un ángulo central de 90° y un radio de 5 cm. Calcula su perímetro aproximado usando \( \pi \approx 3.14 \) y redondeando a dos decimales. Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   Primero, calculamos la longitud del arco: \[ L_\text{arco} = \frac{90°}{360°} \bullet 2 \bullet 3.14 \bullet 5 = \frac{1}{4} \bullet 31.4 = 7.85 \] Luego, calculamos el perímetro: \[ P_\text{sector} = 2 \bullet 5 + 7.85 = 10 + 7.85 = 17.85 \]
   Respuesta: Perímetro ≈ 17.85 cm
3. Calcula el perímetro de un sector circular con un ángulo central de 240° y un radio de 9 cm. Expresa el resultado en términos de \( \pi \). Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   Primero, calculamos la longitud del arco: \[ L_\text{arco} = \frac{240°}{360°} \bullet 2 \bullet \pi \bullet 9 = \frac{2}{3} \bullet 18\pi = 12\pi \] Luego, calculamos el perímetro: \[ P_\text{sector} = 2 \bullet 9 + 12\pi = 18 + 12\pi \]
   Respuesta: Perímetro = \( 18 + 12\pi \) cm
4. Un sector circular tiene un ángulo central de \( \theta \)° y un radio de \( R \). Escribe la fórmula para calcular el perímetro del sector en términos de \( \theta \) y \( R \). Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   \[ P_\text{sector} = 2R + \frac{\theta}{360°} \bullet 2 \pi R \]
   Respuesta: \[ P_\text{sector} = 2R + \frac{\theta}{360°} \bullet 2 \pi R \]
5. Calcula el perímetro de un sector circular con un ángulo central de 120° y un radio de 6 cm. (Expresa el resultado en términos de \( \pi \)) Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   Primero, calculamos la longitud del arco: \[ L_\text{arco} = \frac{120°}{360°} \bullet 2 \bullet \pi \bullet 6 = \frac{1}{3} \bullet 12 \pi = 4\pi \] Luego, calculamos el perímetro: \[ P_\text{sector} = 2 \bullet 6 + 4\pi = 12 + 4\pi \]
   Respuesta: Perímetro = \( 12 + 4\pi \) cm
6. Un sector circular tiene un ángulo central de 300° y un radio de 5 cm. Calcula su perímetro. Usa \( \pi \approx 3.14 \) y redondea a dos decimales. Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   Primero, calculamos la longitud del arco: \[ L_\text{arco} = \frac{300°}{360°} \bullet 2 \bullet 3.14 \bullet 5 = \frac{5}{6} \bullet 31.4 = 26.166... \] Luego, calculamos el perímetro: \[ P_\text{sector} = 2 \bullet 5 + 26.166... = 10 + 26.166... = 36.166... \]
   Respuesta: Perímetro ≈ 36.17 cm
7. Calcula el perímetro de un sector circular con un ángulo central de 75° y un radio de 4 cm. Usa \( \pi \approx 3.14 \) y redondea a dos decimales. Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   Primero, calculamos la longitud del arco: \[ L_\text{arco} = \frac{75°}{360°} \bullet 2 \bullet 3.14 \bullet 4 = \frac{5}{24} \bullet 25.12 = 5.2333... \] Luego, calculamos el perímetro: \[ P_\text{sector} = 2 \bullet 4 + 5.2333... = 8 + 5.2333... = 13.2333... \]
   Respuesta: Perímetro ≈ 13.23 cm
8. Un sector circular tiene un ángulo central de \( 2\alpha \)° y un radio de \( 3R \). Escribe la fórmula para calcular el perímetro del sector en términos de \( \alpha \) y \( R \). Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   \[ P_\text{sector} = 2 \bullet (3R) + \frac{2\alpha}{360°} \bullet 2 \pi (3R) = 6R + \frac{\alpha}{360°} \bullet 12 \pi R = 6R + \frac{\alpha}{30°} \bullet \pi R \]
   Respuesta: \[ P_\text{sector} = 6R + \frac{\alpha}{30°} \bullet \pi R \]

Nivel 2: Problemas Inversos

9. El perímetro de un sector circular es de 28 cm y su radio es de 8 cm. Calcula el ángulo central del sector. (Usa \( \pi \approx 3.14 \)) Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   Primero, planteamos la ecuación del perímetro: \[ P_\text{sector} = 2r + \frac{\alpha}{360°} \bullet 2 \pi r \] \[ 28 = 2 \bullet 8 + \frac{\alpha}{360°} \bullet 2 \bullet 3.14 \bullet 8 \] \[ 28 = 16 + \frac{\alpha}{360°} \bullet 50.24 \] \[ 12 = \frac{\alpha}{360°} \bullet 50.24 \] \[ \alpha = \frac{12 \bullet 360°}{50.24} = 86.006... \]
   Respuesta: Ángulo central ≈ 86°
10. La longitud del arco de un sector circular es de 15.7 cm y el radio es de 10 cm. Calcula el ángulo central del sector. (Usa \( \pi \approx 3.14 \)) Mostrar/Ocultar Respuesta
    Solución:
    Usamos la fórmula de la longitud del arco: \[ L_\text{arco} = \frac{\alpha}{360°} \bullet 2 \pi r \] \[ 15.7 = \frac{\alpha}{360°} \bullet 2 \bullet 3.14 \bullet 10 \] \[ 15.7 = \frac{\alpha}{360°} \bullet 62.8 \] \[ \alpha = \frac{15.7 \bullet 360°}{62.8} = 90 \]
    Respuesta: Ángulo central = 90°
11. El perímetro de un sector circular es de \( 18 + 12\pi \) cm y su ángulo central es de 240°. Calcula el radio del círculo. Mostrar/Ocultar Respuesta
    Solución:
    Primero, planteamos la ecuación del perímetro: \[ P_\text{sector} = 2r + \frac{\alpha}{360°} \bullet 2 \pi r \] \[ 18 + 12\pi = 2r + \frac{240°}{360°} \bullet 2 \pi r \] \[ 18 + 12\pi = 2r + \frac{2}{3} \bullet 2 \pi r \] \[ 18 + 12\pi = 2r + \frac{4}{3} \pi r \] \[ 18 + 12\pi = r(2 + \frac{4}{3} \pi) \] \[ r = \frac{18 + 12\pi}{2 + \frac{4}{3} \pi} \] Podemos multiplicar el numerador y el denominador por 3 para simplificar: \[ r = \frac{54 + 36\pi}{6 + 4\pi} \] Y luego dividir por 2: \[ r = \frac{27 + 18\pi}{3 + 2\pi} = 9 \]
    Respuesta: r = 9 cm
12. La longitud del arco de un sector circular es de 5.23 cm y el radio es de 4 cm. Calcula el ángulo central del sector. (Usa \( \pi \approx 3.14 \) y redondea a 0 decimales) Mostrar/Ocultar Respuesta
    Solución:
    Usamos la fórmula de la longitud del arco: \[ L_\text{arco} = \frac{\alpha}{360°} \bullet 2 \pi r \] \[ 5.23 = \frac{\alpha}{360°} \bullet 2 \bullet 3.14 \bullet 4 \] \[ 5.23 = \frac{\alpha}{360°} \bullet 25.12 \] \[ \alpha = \frac{5.23 \bullet 360°}{25.12} = 74.96... \]
    Respuesta: Ángulo central ≈ 75°
13. El perímetro de un sector circular es de \( 8 + \frac{8}{3} \pi \) cm y su radio es de 4 cm. Calcula el ángulo central del sector. Mostrar/Ocultar Respuesta
    Solución:
    Primero, planteamos la ecuación del perímetro: \[ P_\text{sector} = 2r + \frac{\alpha}{360°} \bullet 2 \pi r \] \[ 8 + \frac{8}{3} \pi = 2 \bullet 4 + \frac{\alpha}{360°} \bullet 2 \pi (4) \] \[ 8 + \frac{8}{3} \pi = 8 + \frac{\alpha}{360°} \bullet 8 \pi \] \[ \frac{8}{3} \pi = \frac{\alpha}{360°} \bullet 8 \pi \] \[ \frac{1}{3} = \frac{\alpha}{360°} \] \[ \alpha = \frac{360°}{3} = 120 \]
    Respuesta: Ángulo central = 120°
14. La longitud del arco de un sector circular es de \( 4\pi \) cm y el radio es de 6 cm. Calcula el ángulo central del sector. Mostrar/Ocultar Respuesta
    Solución:
    Usamos la fórmula de la longitud del arco: \[ L_\text{arco} = \frac{\alpha}{360°} \bullet 2 \pi r \] \[ 4\pi = \frac{\alpha}{360°} \bullet 2 \bullet \pi \bullet 6 \] \[ 4 = \frac{\alpha}{360°} \bullet 12 \] \[ \alpha = \frac{4 \bullet 360°}{12} = 120 \]
    Respuesta: Ángulo central = 120°

Nivel 3: Problemas de Aplicación

17. Un aspersor de riego cubre un sector circular con un ángulo de 100° y un radio de alcance de 12 metros. Además del área regada, se quiere saber la longitud del borde exterior de la zona regada (longitud del arco). Usa \( \pi \approx 3.14 \) y redondea a un decimal. Mostrar/Ocultar Respuesta
    Solución:
    Calculamos la longitud del arco: \[ L_\text{arco} = \frac{100°}{360°} \bullet 2 \bullet 3.14 \bullet 12 = \frac{5}{18} \bullet 75.36 = 20.933... \]
    Respuesta: La longitud del arco es aproximadamente 20.9 m.
18. Un limpiaparabrisas de 30 cm de longitud se mueve describiendo un ángulo de 150°. ¿Cuál es la longitud del arco que describe el extremo del limpiaparabrisas? Expresa el resultado en términos de \( \pi \). Mostrar/Ocultar Respuesta
    Solución:
    Usamos la fórmula de la longitud del arco: \[ L_\text{arco} = \frac{150°}{360°} \bullet 2 \bullet \pi \bullet 30 = \frac{5}{12} \bullet 60 \pi = 25\pi \]
    Respuesta: La longitud del arco es de \( 25\pi \) cm.
19. Un faro proyecta un haz de luz que cubre un sector circular con un ángulo de 135°. Si el alcance del haz de luz es de 25 millas, ¿cuál es la longitud del borde exterior del área iluminada (longitud del arco)? Usa \( \pi \approx 3.14 \) y redondea a dos decimales. Mostrar/Ocultar Respuesta
    Solución:
    Calculamos la longitud del arco: \[ L_\text{arco} = \frac{135°}{360°} \bullet 2 \bullet 3.14 \bullet 25 = \frac{3}{8} \bullet 157 = 58.875 \]
    Respuesta: La longitud del arco es aproximadamente 58.88 millas.
20. Se quiere vallar una parcela de terreno que tiene forma de sector circular. El ángulo central es de 70° y el radio es de 50 metros. ¿Cuántos metros de valla se necesitan? Usa \( \pi \approx 3.14 \) y redondea a un decimal. Mostrar/Ocultar Respuesta
    Solución:
    Primero, calculamos la longitud del arco: \[ L_\text{arco} = \frac{70°}{360°} \bullet 2 \bullet 3.14 \bullet 50 = \frac{7}{36} \bullet 314 = 61.055... \] Luego, calculamos el perímetro: \[ P_\text{sector} = 2 \bullet 50 + 61.055... = 100 + 61.055... = 161.055... \]
    Respuesta: Se necesitan aproximadamente 161.1 metros de valla.
21. Una porción de pizza tiene forma de sector circular con un ángulo central de 50° y un radio de 20 cm. Además del área de la porción, se quiere saber la longitud de la corteza (longitud del arco). Expresa el resultado en términos de \( \pi \). Mostrar/Ocultar Respuesta
    Solución:
    Calculamos la longitud del arco: \[ L_\text{arco} = \frac{50°}{360°} \bullet 2 \bullet \pi \bullet 20 = \frac{5}{36} \bullet 40 \pi = \frac{50}{9} \pi \]
    Respuesta: La longitud de la corteza es de \( \frac{50}{9} \pi \) cm.
22. Un parque tiene forma de círculo con un radio de 50 metros. Se quiere destinar una sección del parque para un jardín de flores, con forma de sector circular y un ángulo central de 80°. Se quiere rodear el jardín de flores con una pequeña valla. ¿Cuál será la longitud de la valla? Usa \( \pi \approx 3.14 \) y redondea a un decimal. Mostrar/Ocultar Respuesta
    Solución:
    Primero, calculamos la longitud del arco: \[ L_\text{arco} = \frac{80°}{360°} \bullet 2 \bullet 3.14 \bullet 50 = \frac{2}{9} \bullet 314 = 69.777... \] Luego, calculamos el perímetro: \[ P_\text{sector} = 2 \bullet 50 + 69.777... = 100 + 69.777... = 169.777... \]
    Respuesta: La longitud de la valla será de aproximadamente 169.8 m.