Un segmento circular es una región de un círculo delimitada por una cuerda y el arco que subtiende dicha cuerda. En términos más sencillos, es como una "rebanada" de un círculo, pero en lugar de que el corte llegue al centro, se queda en una línea recta (la cuerda).
Imagen aquí: Círculo con un segmento circular resaltado
Relación entre Segmentos, Sectores y Triángulos
Para entender cómo calcular el área de un segmento circular, es fundamental relacionarlo con los conceptos de sector circular y triángulo.
Imagina un sector circular (como una rebanada de pizza). Si trazas una línea recta (una cuerda) uniendo los dos extremos del arco del sector, obtienes un triángulo. El área que queda entre la cuerda y el arco es el segmento circular.
Imagen aquí: Sector circular, triángulo y segmento circular
Por lo tanto, podemos decir que:
Área del segmento circular = Área del sector circular - Área del triángulo
Cálculo del Área de un Segmento Circular
Para calcular el área de un segmento circular, seguimos estos pasos:
Calcular el área del sector circular: Usamos la fórmula que ya conocemos:
\[ A_\text{sector} = \frac{\alpha}{360°} \bullet \pi r^2 \]
donde \( \alpha \) es el ángulo central del sector y \( r \) es el radio del círculo.
Calcular el área del triángulo: Esto dependerá del tipo de triángulo formado.
Si el ángulo central es de 90°, el triángulo es rectángulo y el área se calcula fácilmente como \(\frac{1}{2} \bullet \text{base} \bullet \text{altura}\), donde la base y la altura son iguales al radio.
Si el ángulo central es de 60°, el triángulo es equilátero, y se proporciona información adicional o se puede calcular con la fórmula \( A_\text{triangulo} = \frac{\sqrt{3}}{4} \bullet \text{lado}^2 \), donde el lado es igual al radio.
Para otros ángulos, se proporcionará la información necesaria para calcular el área del triángulo, como la base y la altura, o se darán indicaciones para aproximar el área.
Restar el área del triángulo al área del sector:\[ A_\text{segmento} = A_\text{sector} - A_\text{triangulo} \]
Ejemplo 1:
Supongamos que tenemos un sector circular con un ángulo central de 90° y un radio de 10 cm. La cuerda que une los extremos del arco forma un triángulo rectángulo con los dos radios.
Área del sector:\[ A_\text{sector} = \frac{90°}{360°} \bullet \pi \bullet (10)^2 = \frac{1}{4} \bullet 100\pi = 25\pi \text{ cm}^2 \]
Área del triángulo:\[ A_\text{triangulo} = \frac{1}{2} \bullet 10 \bullet 10 = 50 \text{ cm}^2 \]
Área del segmento:\[ A_\text{segmento} = 25\pi - 50 \text{ cm}^2 \]
Usando \(\pi \approx 3.14\) , el área del segmento circular es aproximadamente \(25 \bullet 3.14 - 50 = 28.5 \text{ cm}^2\)
Ejemplo 2:
Supongamos que tenemos un sector circular con un ángulo central de 60° y un radio de 6 cm. En este caso, el triángulo formado es equilátero.
Área del sector:\[ A_\text{sector} = \frac{60°}{360°} \bullet \pi \bullet (6)^2 = \frac{1}{6} \bullet 36\pi = 6\pi \text{ cm}^2 \]
Área del triángulo:\[ A_\text{triangulo} = \frac{\sqrt{3}}{4} \bullet 6^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \bullet 36 = 9\sqrt{3} \text{ cm}^2 \]
Área del segmento:\[ A_\text{segmento} = 6\pi - 9\sqrt{3} \text{ cm}^2 \]
Ejercicios de Cálculo del Área de Segmentos Circulares
Nivel 1: Aplicación Directa de la Fórmula
Calcula el área de un segmento circular con un ángulo central de 90° y un radio de 8 cm, si la cuerda que lo delimita junto con el arco forman un triangulo rectangulo de catetos iguales al radio. (Usa \( \pi \approx 3.14 \))
Un segmento circular tiene un ángulo central de 60° y un radio de 10 cm. La cuerda que lo delimita junto con el arco forman un triangulo equilatero de lado igual al radio. Calcula su área aproximada usando \( \pi \approx 3.14 \) y redondeando a dos decimales.
Calcula el área de un segmento circular con un ángulo central de 120° y un radio de 6 cm. El triangulo formado por los radios y la cuerda tiene una altura de 3 cm. Expresa el resultado en términos de \( \pi \) y luego usa \( \pi \approx 3.14 \) y redondea a un decimal.
Solución: Área del sector:\[ A_\text{sector} = \frac{120°}{360°} \bullet \pi \bullet (6)^2 = \frac{1}{3} \bullet \pi \bullet 36 = 12\pi \text{ cm}^2 \]Área del triángulo:
Se nos da la altura (h=3cm) y sabemos que la base es el radio (6 cm)
\[ A_\text{triangulo} = \frac{1}{2} \bullet 6 \bullet 3 = 9 \text{ cm}^2 \]Área del segmento:\[ A_\text{segmento} = 12\pi - 9 \text{ cm}^2 \]
Usando la aproximación y el redondeo:
\[ A_\text{segmento} \approx 12(3.14) - 9 = 37.68 - 9 = 28.68 \text{ cm}^2 \]
Respuesta: Área = \( 12\pi - 9 \) cm² ≈ 28.7 cm²
Un segmento circular tiene un ángulo central de \( \alpha \)° y un radio de \( R \). Escribe la fórmula para calcular el área del segmento en términos de \( \alpha \) y \( R \), la longitud de la cuerda que delimita el segemento es c y la altura del triangulo formado por la cuerda y los dos radios es h.
Solución: Área del sector:\[ A_\text{sector} = \frac{\alpha}{360°} \bullet \pi \bullet R^2 \]Área del triángulo:\[ A_\text{triangulo} = \frac{1}{2} \bullet R \bullet h \]Área del segmento:\[ A_\text{segmento} = \frac{\alpha}{360°} \bullet \pi \bullet R^2 - \frac{1}{2} \bullet R \bullet h\]
Respuesta: \[ A_\text{segmento} = \frac{\alpha}{360°} \bullet \pi \bullet R^2 - \frac{1}{2} \bullet R \bullet h\]
Calcula el área de un segmento circular con un ángulo central de 180° y un radio de 5 cm. (Expresa el resultado en términos de \( \pi \))
Solución: Área del sector:\[ A_\text{sector} = \frac{180°}{360°} \bullet \pi \bullet (5)^2 = \frac{1}{2} \bullet \pi \bullet 25 = 12.5\pi \text{ cm}^2 \]Área del triángulo:
El ángulo central de 180° indica que el segmento circular es un semicírculo. En este caso, el triángulo formado es un triángulo degenerado, donde la cuerda es un diámetro del círculo y la altura del triángulo es cero, por lo que el área del triángulo es cero
\[ A_\text{triangulo} = 0 \]Área del segmento:\[ A_\text{segmento} = 12.5\pi - 0 = 12.5\pi \text{ cm}^2 \]
Respuesta: Área = \( 12.5\pi \) cm²
Un segmento circular tiene un ángulo central de 270° y un radio de 7 cm. El triangulo formado por la cuerda y los dos radios es rectangulo. Calcula su área aproximada usando \( \pi \approx 3.14 \) y redondeando a dos decimales.
Solución: Área del sector:\[ A_\text{sector} = \frac{270°}{360°} \bullet 3.14 \bullet (7)^2 = \frac{3}{4} \bullet 3.14 \bullet 49 = 115.395 \text{ cm}^2 \]Área del triángulo:
El ángulo central de 270° abarca las tres cuartas partes de un círculo.
El triangulo es rectangulo con base y altura igual a al radio
\[ A_\text{triangulo} = \frac{1}{2} \bullet 7 \bullet 7= 24.5 \text{ cm}^2 \]Área del segmento:\[ A_\text{segmento} = 115.395 +24.5 = 139.895 \text{ cm}^2 \]
Respuesta: Área ≈ 139.90 cm²
Nivel 2: Problemas Inversos
El área de un segmento circular es de \( 10\pi - 25 \) cm² y su ángulo central es de 90°. El triangulo formado por la cuerda y los dos radios es rectangulo. Calcula el radio del círculo.
Solución:
Sabemos que el área del segmento es la diferencia entre el área del sector y el área del triángulo. En este caso, el ángulo central es de 90°, lo que significa que el sector es un cuarto de círculo y el triángulo es rectángulo con catetos iguales al radio.
Área del sector:\[ A_\text{sector} = \frac{90°}{360°} \bullet \pi \bullet r^2 = \frac{1}{4} \pi r^2 \]Área del triángulo:\[ A_\text{triangulo} = \frac{1}{2} \bullet r \bullet r = \frac{1}{2} r^2 \]Área del segmento:\[ A_\text{segmento} = A_\text{sector} - A_\text{triangulo} = \frac{1}{4} \pi r^2 - \frac{1}{2} r^2 \]
Se nos da que el área del segmento es \( 10\pi - 25 \) cm². Entonces:
\[ 10\pi - 25 = \frac{1}{4} \pi r^2 - \frac{1}{2} r^2 \]\[ 40\pi - 100 = \pi r^2 - 2r^2 \]\[ 40\pi - 100 = r^2 (\pi - 2) \]\[ r^2 = \frac{40\pi - 100}{\pi - 2} \]\[ r^2 = \frac{40(\pi - 2.5)}{\pi - 2} \approx 22.46 \]\[ r \approx \sqrt{22.46} \approx 4.74 \]
Sin aproximar:
\[ r = \sqrt{\frac{40(\pi - 2.5)}{\pi - 2}} \]\[ r = \sqrt{\frac{40\pi - 100}{\pi - 2}} \]\[ r = \sqrt{\frac{40(\pi - 2.5)}{\pi - 2}} \]
Respuesta: \( r = \sqrt{\frac{40(\pi - 2.5)}{\pi - 2}} \) cm ≈ 4.74 cm
El área de un segmento circular es aproximadamente 4.09 cm² y su radio es de 3 cm, la altura del triangulo formado por la cuerda que delimita el segmento y los dos radios es de 2.25 cm . Calcula el ángulo central del sector. (Usa \( \pi \approx 3.14 \) y redondea a un decimal)
El área de un segmento circular es de \( 24 - \frac{9\sqrt{3}}{2} \) cm² y el ángulo central es de 60°. Calcula el radio del círculo.
Solución:
Usamos la fórmula del área del segmento:
\[ A_\text{segmento} = A_\text{sector} - A_\text{triangulo} \]
El área del sector es:
\[ A_\text{sector} = \frac{60°}{360°} \bullet \pi \bullet r^2 = \frac{1}{6} \pi r^2 \]
El área del triángulo, al ser un triángulo equilátero con lados iguales al radio, es:
\[ A_\text{triangulo} = \frac{\sqrt{3}}{4} r^2 \]
Sustituyendo en la fórmula del área del segmento:
\[ 24 - \frac{9\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{6} \pi r^2 - \frac{\sqrt{3}}{4} r^2 \]\[ 24 - \frac{9\sqrt{3}}{2} = r^2 \left( \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4} \right) \]\[ r^2 = \frac{24 - \frac{9\sqrt{3}}{2}}{\frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4}} \approx 36 \]\[ r = \sqrt{36} = 6 \]
Respuesta: r = 6 cm
El área de un segmento circular es aproximadamente 4.19 cm² y su radio es de 2 cm. Calcula el ángulo central del sector. (Usa \( \pi \approx 3.14 \) y asume que la cuerda es igual al radio)
Solución: \[ A_\text{segmento} = A_\text{sector} - A_\text{triangulo} \]
Si la cuerda es igual al radio, el triangulo es equilatero y su area es:
\[ A_\text{triangulo} = \frac{\sqrt{3}}{4} \bullet 2^2 = \sqrt{3} \]\[ 4.19 = \frac{\alpha}{360°} \bullet 3.14 \bullet (2)^2 - \sqrt{3} \]\[ 4.19 + \sqrt{3} = \frac{\alpha}{360°} \bullet 12.56 \]\[\alpha = \frac{(4.19 + \sqrt{3}) \bullet 360°}{12.56} \]
Suponiendo que la cuerda es igual al radio, entonces el triangulo es equilatero y el angulo es 60°
Respuesta: Ángulo central = 60°
Nivel 3: Problemas de Aplicación
Se quiere construir una ventana con forma de segmento circular. El ángulo central del sector circular correspondiente es de 90° y el radio del círculo es de 1 metro. Si el costo del material es proporcional al área, calcula el área del segmento circular para estimar el costo del material. (Usa \( \pi \approx 3.14 \) y asume que la cuerda es igual a la raiz cuadrada de 2 multiplicado por el radio, y redondea a dos decimales).
Solución: Área del sector:\[ A_\text{sector} = \frac{90°}{360°} \bullet 3.14 \bullet (1)^2 = \frac{1}{4} \bullet 3.14 = 0.785 \text{ m}^2 \]Área del triángulo:\[ A_\text{triangulo} = \frac{1}{2} \bullet 1 \bullet 1 = 0.5 \text{ m}^2 \]Área del segmento:\[ A_\text{segmento} = 0.785 - 0.5 = 0.285 \text{ m}^2 \]
Respuesta: El área del segmento circular es aproximadamente 0.29 m².
Un logotipo tiene la forma de un segmento circular con un ángulo central de 120° y un radio de 5 cm. Calcula el área del logotipo. (Expresa el resultado en términos de \( \pi \) y luego usa 3.14 y redondea a un decimal).
Solución: Área del sector:\[ A_\text{sector} = \frac{120°}{360°} \bullet \pi \bullet (5)^2 = \frac{1}{3} \bullet 25\pi = \frac{25}{3}\pi \text{ cm}^2 \]Área del triángulo:
Se nos da la altura. La base del triangulo es igual al radio.
\[ A_\text{triangulo} = \frac{1}{2} \bullet 5 \bullet 5\sqrt{3}/2 = \frac{25\sqrt{3}}{4} \text{ cm}^2 \]Área del segmento:\[ A_\text{segmento} = \frac{25}{3}\pi - \frac{25\sqrt{3}}{4} \text{ cm}^2 \]
Usando la aproximación y redondeando:
\[ A_\text{segmento} \approx \frac{25}{3}(3.14) - \frac{25(1.73)}{4} = 26.17 - 10.81 = 15.36 \text{ cm}^2 \]
Respuesta: El área del logotipo es aproximadamente \( \frac{25}{3}\pi - \frac{25\sqrt{3}}{4} \) cm² ≈ 15.4 cm².
Un espejo en forma de segmento circular tiene un ángulo central de 60° y un radio de 12 cm. Calcula el área del espejo. (Expresa el resultado en términos de \( \pi \))
Solución: Área del sector:\[ A_\text{sector} = \frac{60°}{360°} \bullet \pi \bullet (12)^2 = \frac{1}{6} \bullet 144\pi = 24\pi \text{ cm}^2 \]Área del triángulo:
Al ser el ángulo de 60°, el triángulo formado es equilátero.
\[ A_\text{triangulo} = \frac{\sqrt{3}}{4} \bullet 12^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \bullet 144 = 36\sqrt{3} \text{ cm}^2 \]Área del segmento:\[ A_\text{segmento} = 24\pi - 36\sqrt{3} \text{ cm}^2 \]
Respuesta: El área del espejo es \( 24\pi - 36\sqrt{3} \) cm².
Una mesa tiene una superficie en forma de segmento circular con un ángulo central de 90° y un radio de 80 cm. Se quiere barnizar la superficie de la mesa. Calcula la cantidad de barniz necesaria, sabiendo que 1 litro de barniz cubre 10 m² (10000 cm²). (Usa \( \pi \approx 3.14 \) y redondea a tres decimales).
Solución: Área del sector:\[ A_\text{sector} = \frac{90°}{360°} \bullet 3.14 \bullet (80)^2 = \frac{1}{4} \bullet 3.14 \bullet 6400 = 5024 \text{ cm}^2 \]Área del triángulo:\[ A_\text{triangulo} = \frac{1}{2} \bullet 80 \bullet 80 = 3200 \text{ cm}^2 \]Área del segmento:\[ A_\text{segmento} = 5024 - 3200 = 1824 \text{ cm}^2 \]
Cantidad de barniz necesaria:
\[ \text{Barniz} = \frac{1824}{10000} = 0.1824 \text{ litros} \]
Respuesta: Se necesitan aproximadamente 0.182 litros de barniz.
Perímetro de un Segmento Circular
El perímetro de un segmento circular se calcula sumando la longitud del arco que lo delimita y la longitud de la cuerda que forma la base del segmento.
Perímetro del segmento circular = Longitud del arco + Longitud de la cuerda
Ya sabemos cómo calcular la longitud del arco:
\[ L_\text{arco} = \frac{\alpha}{360°} \bullet 2 \pi r \]
Para la longitud de la cuerda, en casos donde no se puede usar trigonometria, se puede dar como aproximación la siguiente formula, donde h es la altura del triangulo asociado al segmento circular.
\[ c = \sqrt{2h(2r - h)} \]
Ejemplo
Considera un segmento circular con un ángulo central de 60° y un radio de 10 cm.
Ejercicios de Cálculo del Perímetro de Segmentos Circulares
Nivel 1: Aplicación Directa de la Fórmula
Calcula el perímetro de un segmento circular con un ángulo central de 60° y un radio de 10 cm. (Usa \( \pi \approx 3.14 \), considera que la cuerda tiene la misma longitud que el radio)
Solución: Longitud del arco:\[ L_\text{arco} = \frac{60°}{360°} \bullet 2 \bullet 3.14 \bullet 10 = \frac{1}{6} \bullet 62.8 = 10.47 \text{ cm} \]Longitud de la cuerda:
Al ser el triangulo equilatero, la cuerda es igual al radio
\[ c = 10 \text{ cm} \]Perímetro del segmento:\[ P_\text{segmento} = 10.47 + 10 = 20.47 \text{ cm} \]
Respuesta: Perímetro ≈ 20.47 cm
Un segmento circular tiene un ángulo central de 90° y un radio de 5 cm. Calcula su perímetro aproximado usando \( \pi \approx 3.14 \) y redondeando a dos decimales.
Solución: Longitud del arco:\[ L_\text{arco} = \frac{90°}{360°} \bullet 2 \bullet 3.14 \bullet 5 = \frac{1}{4} \bullet 31.4 = 7.85 \text{ cm} \]Longitud de la cuerda:
En este caso asumimos que la cuerda es \( c = \sqrt{2 \bullet 5^2} = \sqrt{50} \approx 7.07 \text{ cm} \)Perímetro del segmento:\[ P_\text{segmento} \approx 7.85 + 7.07 = 14.92 \text{ cm} \]
Respuesta: Perímetro ≈ 14.92 cm
Calcula el perímetro de un segmento circular con un ángulo central de 120° y un radio de 8 cm. La altura del triangulo formado por los radios y la cuerda que delimita el segmento es de 4 cm . Expresa el resultado en términos de \( \pi \).
Solución: Longitud del arco:\[ L_\text{arco} = \frac{120°}{360°} \bullet 2 \bullet \pi \bullet 8 = \frac{1}{3} \bullet 16\pi = \frac{16}{3}\pi \text{ cm} \]Longitud de la cuerda:
se aproxima usando la altura del triangulo asociado (4 cm)
\[ c = \sqrt{2 \bullet 4 \bullet (2 \bullet 8 - 4)} = \sqrt{8 \bullet 12} = \sqrt{96} = 4\sqrt{6} \text{ cm} \]Perímetro del segmento:\[ P_\text{segmento} = \frac{16}{3}\pi + 4\sqrt{6} \text{ cm} \]
Respuesta: Perímetro = \( \frac{16}{3}\pi + 4\sqrt{6} \) cm
Un segmento circular tiene un ángulo central de \( \alpha \)° y un radio de \( R \). Escribe la fórmula para calcular el perímetro del segmento en términos de \( \alpha \) y \( R \), la altura del triangulo formado por la cuerda y los radios es h.
Solución: Longitud del arco:\[ L_\text{arco} = \frac{\alpha}{360°} \bullet 2 \pi R \]Longitud de la cuerda:
se aproxima usando la altura h
\[ c \approx \sqrt{2h(2R - h)} \]Perímetro del segmento:\[ P_\text{segmento} = \frac{\alpha}{360°} \bullet 2 \pi R + \sqrt{2h(2R - h)} \]
Respuesta: \[ P_\text{segmento} = \frac{\alpha}{360°} \bullet 2 \pi R + \sqrt{2h(2R - h)} \]
Calcula el perímetro de un segmento circular con un ángulo central de 180° y un radio de 7 cm. (Expresa el resultado en términos de \( \pi \))
Solución: Longitud del arco:\[ L_\text{arco} = \frac{180°}{360°} \bullet 2 \bullet \pi \bullet 7 = \frac{1}{2} \bullet 14\pi = 7\pi \text{ cm} \]Longitud de la cuerda:
Cuando el ángulo central es 180°, la cuerda es un diámetro.
\[ c = 2 \bullet 7 = 14 \text{ cm} \]Perímetro del segmento:\[ P_\text{segmento} = 7\pi + 14 \text{ cm} \]
Respuesta: Perímetro = \( 7\pi + 14 \) cm
Un segmento circular tiene un ángulo central de 90° y un radio de 4 cm. Calcula su perímetro aproximado usando \( \pi \approx 3.14 \) y redondeando a dos decimales.
Solución: Longitud del arco:\[ L_\text{arco} = \frac{90°}{360°} \bullet 2 \bullet 3.14 \bullet 4 = \frac{1}{4} \bullet 25.12 = 6.28 \text{ cm} \]Longitud de la cuerda:
Asumimos que es el cateto de un triangulo rectangulo de lados iguales al radio.
\[ c = \sqrt{2 \bullet 4^2} = \sqrt{32} \approx 5.66 \text{ cm} \]Perímetro del segmento:\[ P_\text{segmento} \approx 6.28 + 5.66 = 11.94 \text{ cm} \]
Respuesta: Perímetro ≈ 11.94 cm
Nivel 2: Problemas Inversos
El perímetro de un segmento circular es de 51.4 cm y su radio es de 15 cm. El triangulo asociado es rectangulo isosceles de catetos iguales al radio. Calcula el ángulo central del sector. (Usa \( \pi \approx 3.14 \) y redondea a un decimal).
Solución: Longitud de la cuerda:
Al ser un triangulo rectangulo isosceles la cuerda se calcula como:
\[ c = \sqrt{2 \bullet 15^2} = 15\sqrt{2} \approx 21.2 \text{ cm} \] \[ P_\text{segmento} = L_\text{arco} + c \]\[ 51.4 = \frac{\alpha}{360°} \bullet 2 \bullet 3.14 \bullet 15 + 21.2 \]\[ 30.2 = \frac{\alpha}{360°} \bullet 94.2 \]\[ \alpha = \frac{30.2 \bullet 360°}{94.2} \approx 115.2 \]
Respuesta: Ángulo central ≈ 115.2°
La longitud del arco de un segmento circular es de 23.55 cm y el radio es de 15 cm. Calcula el ángulo central del sector. (Usa \( \pi \approx 3.14 \) y redondea a un decimal).
Solución:
Usamos la fórmula de la longitud del arco:
\[ L_\text{arco} = \frac{\alpha}{360°} \bullet 2 \pi r \]\[ 23.55 = \frac{\alpha}{360°} \bullet 2 \bullet 3.14 \bullet 15 \]\[ 23.55 = \frac{\alpha}{360°} \bullet 94.2 \]\[ \alpha = \frac{23.55 \bullet 360°}{94.2} = 90 \]
Respuesta: Ángulo central = 90.0°
El perímetro de un segmento circular es de \( 20 + \frac{8\pi}{3} \) cm y su ángulo central es de 120°. Calcula el radio del círculo.
Solución:
Primero, planteamos la ecuación del perímetro:
\[ P_\text{segmento} = 2r + \frac{\alpha}{360°} \bullet 2 \pi r \]\[ 20 + \frac{8\pi}{3} = 2r + \frac{120°}{360°} \bullet 2 \pi r \]\[ 20 + \frac{8\pi}{3} = 2r + \frac{1}{3} \bullet 2 \pi r \]\[ 20 + \frac{8\pi}{3} = 2r + \frac{2\pi}{3} r \]\[ 20 + \frac{8\pi}{3} = r(2 + \frac{2\pi}{3}) \]\[ r = \frac{20 + \frac{8\pi}{3}}{2 + \frac{2\pi}{3}} \]
Simplificando:
\[ r = \frac{60 + 8\pi}{6 + 2\pi} = \frac{30 + 4\pi}{3 + \pi} \]\[ r = \frac{4(7.5 + \pi)}{3 + \pi} \]
Respuesta: \( r = \frac{4(7.5 + \pi)}{3 + \pi} \) cm
Nivel 3: Problemas de Aplicación
Un limpiaparabrisas de 25 cm de longitud se mueve describiendo un ángulo de 150°. La altura del triangulo asociado es de 12.5 cm ¿Cuál es el perímetro de la región que limpia el limpiaparabrisas? Usa \( \pi \approx 3.14 \) y redondea a un decimal.
Solución: Longitud del arco:\[ L_\text{arco} = \frac{150°}{360°} \bullet 2 \bullet 3.14 \bullet 25 = \frac{5}{12} \bullet 157 = 65.42 \text{ cm} \]Longitud de la cuerda:
se aproxima usando la altura
\[ c = \sqrt{2 \bullet 12.5 \bullet (2 \bullet 25 - 12.5)} = \sqrt{25 \bullet 37.5} = \sqrt{937.5} \approx 30.6 \text{ cm} \]Perímetro del segmento:\[ P_\text{segmento} \approx 65.42 + 30.6 = 96.02 \text{ cm} \]
Respuesta: El perímetro es aproximadamente 96.0 cm
Se quiere cercar un jardín con forma de segmento circular. El ángulo central del sector es de 75° y el radio es de 15 metros. ¿Cuántos metros de cerca se necesitan? Usa \( \pi \approx 3.14 \) y redondea a un decimal.
Solución: Longitud del arco:\[ L_\text{arco} = \frac{75°}{360°} \bullet 2 \bullet 3.14 \bullet 15 = \frac{5}{24} \bullet 94.2 = 19.625 \text{ m} \]Longitud de la cuerda:
se proporciona como dato, 28 metros
Perímetro del segmento:\[ P_\text{segmento} = 19.625 + 28 = 47.625 \text{ m} \]
Respuesta: Se necesitan aproximadamente 47.6 metros de cerca.
Calcula el perímetro de un banderín que tiene forma de segmento circular con un ángulo central de 100° y un radio de 20 cm. La cuerda que delimita el segmento mide 30.6 cm. Usa \( \pi \approx 3.14 \) y redondea a un decimal.
Solución: Longitud del arco:\[ L_\text{arco} = \frac{100°}{360°} \bullet 2 \bullet 3.14 \bullet 20 = \frac{5}{18} \bullet 125.6 = 34.888... \text{ cm} \]Longitud de la cuerda:
se da como dato, 30.6 cm
Perímetro del segmento:\[ P_\text{segmento} \approx 34.89 + 30.6 = 65.49 \text{ cm} \]
Respuesta: El perímetro del banderín es aproximadamente 65.5 cm.
Se quiere construir un espejo en forma de segmento circular. El ángulo central del sector circular correspondiente es de 60° y el radio del círculo es de 80 cm. ¿Cuál es el perímetro del espejo? (Expresa el resultado en términos de \( \pi \))
Solución: Longitud del arco:\[ L_\text{arco} = \frac{60°}{360°} \bullet 2 \bullet \pi \bullet 80 = \frac{1}{6} \bullet 160\pi = \frac{80}{3}\pi \text{ cm} \]Longitud de la cuerda:
Al ser el ángulo de 60°, la cuerda es igual al radio.
\[ c = 80 \text{ cm} \]Perímetro del segmento:\[ P_\text{segmento} = \frac{80}{3}\pi + 80 \text{ cm} \]
Respuesta: El perímetro del espejo es \( \frac{80}{3}\pi + 80 \) cm.
