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Ejercicios y Problemas del Primer Teorema de Tales

Ejercicios y Problemas del Primer Teorema de Tales

Ejercicios (Sin Imágenes) - Primer Teorema de Tales

Ejercicios Fáciles

Ejercicio 1 

Sean dos rectas que se cortan en un punto O. Una recta AB corta a la primera recta en A y a la segunda en B. Una recta CD, paralela a AB, corta a la primera en C y a la segunda en D. Si \(OA = 4\) cm, \(AC = 2\) cm, y \(OB = 5\) cm, encuentra la longitud de \(BD\).

Ejercicio 2 

Dos rectas se intersectan en O. Una recta AB es paralela a otra recta CD. Si \(OA = 6\) cm, \(AC = 3\) cm, y \(OD = 8\) cm, halla la longitud de \(OB\).

Ejercicio 3 

Una recta transversal AB corta dos rectas que se intersectan en O. Otra recta transversal CD, paralela a AB, las corta en C y D. Si \(OA = 2\) cm, \(AC = 6\) cm, y \(OB = 3\) cm, halla la longitud de \(BD\).

Ejercicio 4 

En un triángulo \(ABC\), la recta \(DE\) es paralela al lado \(BC\). Sabemos que \(AD : DB = 2 : 3\) y \(AE = 6\) cm, \(EC = 9\) cm. Halla la medida de \(AD\) y \(DB\).

Ejercicios Medios

Ejercicio 5 

Dos rectas se cortan en un punto O. Tres rectas paralelas, AB, CD, y EF, cortan a una de las rectas en A, C y E, y a la otra en B, D y F. Si \(OA = 5\) cm, \(AC = 3\) cm, \(CE = 4\) cm, y \(BD = 6\) cm, calcula las longitudes de \(OB\) y \(DF\).

Ejercicio 6 

En un triángulo ABC, se traza una línea DE paralela al lado BC. La línea DE intersecta al lado AB en D, y al lado AC en E. Si \(AD = x\), \(DB = x + 2\), \(AE = 4\), y \(EC = 5\), calcula la longitud de \(AD\) y \(DB\).

Ejercicio 7 

En un triángulo \(ABC\), se traza una recta DE paralela al lado \(AC\). La recta DE intersecta \(AB\) en \(D\) y \(BC\) en \(E\). Si \(BD = 5\), \(DA = 7\), y \(CE = 9\), y se sabe que \(\frac{BD}{DA} = \frac{BE}{EC}\) (Teorema de Tales), halla \(BE\).

Ejercicio 8 

Dos rectas se cortan en O. Tres paralelas AB, CD, EF cortan una de las rectas en A, C, E y la otra en B, D, F. Si \(OA = 4\) cm, \(AC = 2\) cm, \(CE = 2\) cm y \(OB = 6\) cm, halla \(BD\) y \(DF\).

Ejercicio 9 

Dos rectas se cortan en O. Cuatro rectas paralelas A1B1, A2B2, A3B3 y A4B4 cortan esas dos rectas. Sobre una de las rectas: \(OA_1 = 2\), \(A_1A_2 = 2\), \(A_2A_3 = 2\), \(A_3A_4=2\). En la otra recta, \(OB_1\) es desconocido, pero \(B_1B_2= 4\), \(B_2B_3=4\), \(B_3B_4=4\). Aplica Tales para obtener \(\frac{OA_1}{OB_1}\).

Ejercicios Difíciles

Ejercicio 10 

Dos rectas se cortan en O. Se trazan tres rectas paralelas: AB, CD, EF. Si \(AC = 2x\), \(CE = x + 1\), \(BD = x + 3\), y \(DF = x\), encuentra el valor de \(x\).

Ejercicio 11 

Dos rectas se cortan en el punto O. Se trazan dos rectas paralelas, AB y CD. Si \(OA = 2x - 1\), \(AC = x + 2\), \(OB = 3x - 2\), \(BD = 2x + 1\), halla el valor de \(x\).

Ejercicio 12 

Se tiene un ángulo con vértice en O. Sobre cada uno de sus lados, se marcan tres puntos consecutivos (A, C, E) y (B, D, F), de modo que AB, CD y EF son rectas paralelas. Se sabe que \(OA = 3\), \(AC = 3\), \(CE = 4\) y \(OB = 2.5\). Halla \(BD\) y \(DF\) aplicando el Teorema de Tales.

Problemas (Sin Imágenes) - Primer Teorema de Tales (5 Problemas)

Problema 1

Un poste vertical proyecta una sombra de 6 metros. Más adelante, alineado con el poste y su sombra, se encuentra una varilla vertical que proyecta una sombra de 2 metros. Si la distancia entre la punta de la sombra del poste y la de la varilla es de 4 m, ¿cuál es la razón entre la altura del poste y la altura de la varilla?

Problema 2

Un árbol y una estaca están clavados verticalmente en el suelo. El árbol mide H metros y la estaca mide h metros. A cierta hora del día, la sombra del árbol mide 12 m y la de la estaca 4 m. Si la distancia entre las puntas de ambas sombras es de 8 m, encuentra la relación entre la altura del árbol y la altura de la estaca.

Problema 3

Se tienen dos postes verticales, P1 y P2, y un punto de observación O. La sombra de P1 mide 10 m y la de P2 mide 15 m; la distancia entre los extremos de ambas sombras es 5 m. Si la altura de P1 es 8 m, ¿cuál es la altura de P2?

Problema 4

Una rampa se apoya en el suelo formando un ángulo en un extremo, y en dos puntos sucesivos de la rampa se colocan soportes verticales (paralelos entre sí). El primer soporte proyecta una sombra de 3 m, el segundo, de 1 m, y entre los extremos de ambas sombras hay 2 m. ¿Cómo hallar la razón entre las alturas de ambos soportes usando el Primer Teorema de Tales?

Problema 5

Dos rectas se cortan en un ángulo agudo O. Se trazan tres líneas paralelas que cortan ese ángulo, formando segmentos correspondientes sobre cada lado. En el primer lado, los tramos resultan ser 3 cm, 2 cm y 4 cm sucesivos (entre O, primer punto, segundo punto y final). En el otro lado del ángulo, los tramos correspondientes son 4 cm, 3 cm y x cm. Halla x aplicando el Teorema de Tales.

Llamando a los segmentos en el primer lado \(OA=3\), \(AC=2\), \(CE=4\). En el otro lado \(OB=4\), \(BD=3\), \(DF=x\). Entonces:

  • \(\displaystyle \frac{OA}{AC} = \frac{OB}{BD} \implies \frac{3}{2} = \frac{4}{3} \implies 9 = 8 \), parece inconsistente si esos valores son adyacentes. Verifica el orden de los puntos.
  • Si el orden es tal que \(\tfrac{OA}{AC}=\tfrac{OB}{BD}\) y \(\tfrac{AC}{CE}=\tfrac{BD}{DF}\), entonces se despeja \(x\).

Dependiendo de la ubicación exacta de los tramos, se arma el sistema \(\tfrac{3}{2} = \tfrac{4}{3}\) y \(\tfrac{2}{4} = \tfrac{3}{x}\), etc. Comprueba la consistencia para obtener \(x\). El mensaje principal: se usa Tales para relacionar los segmentos en cada lado del ángulo y resolver x.