2. Construcción de los Números Enteros a partir de los Naturales (complemento)

Construcción de los Números Enteros a partir de los Naturales

🌍 ¿Por qué construir algo que ya conocemos?

Aunque usamos los números negativos y el cero todos los días, en matemática es crucial tener una base sólida y sin contradicciones. La construcción formal de los números enteros (\(\mathbb{Z}\)) a partir de los naturales (\(\mathbb{N}\)) nos permite definir rigurosamente qué es un número negativo y cómo opera, usando solo las reglas que ya conocemos de los números naturales. Es como construir un rascacielos: necesitamos cimientos lógicos y bien definidos.

📐 Definición Matemática Formal

Los números enteros se construyen formalmente mediante los siguientes pasos:

  1. Conjunto Base: Partimos del producto cartesiano de los números naturales consigo mismos, \(\mathbb{N} \times \mathbb{N}\). Este conjunto está formado por todos los pares ordenados \((a, b)\) donde \(a\) y \(b\) son números naturales. \[ \mathbb{P} = \{(a, b) \mid a, b \in \mathbb{N}\} \]
  2. Relación de Equivalencia: Definimos una relación \(\sim\) sobre este conjunto de pares. Decimos que dos pares son equivalentes si representan la misma "diferencia". \[ (a, b) \sim (c, d) \iff a + d = b + c \]
  3. Clases de Equivalencia: Cada conjunto de pares que son equivalentes entre sí forma una "clase de equivalencia". Cada una de estas clases es un número entero. \[ \mathbb{Z} = \{ [(a, b)] \mid (a, b) \in \mathbb{P} \} \]

Por lo tanto, el conjunto de los números enteros \(\mathbb{Z}\) es, formalmente, el conjunto cociente de \(\mathbb{N} \times \mathbb{N}\) bajo la relación \(\sim\).

💡 La Idea Clave: La resta escondida

La intuición detrás del par \((a, b)\) es que representa la resta \(a - b\). Como la resta no siempre es posible en los números naturales, usamos este par para "codificar" la idea de una resta sin salirnos del conjunto \(\mathbb{N}\).

  • El par \((5, 2)\) representa la idea de \(5-2\), es decir, el entero \(+3\).
  • El par \((2, 5)\) representa la idea de \(2-5\), es decir, el entero \(-3\).
  • El par \((4, 4)\) representa la idea de \(4-4\), es decir, el entero \(0\).

La relación \(a + d = b + c\) es simplemente una forma de decir que \(a - b = c - d\) sin usar el signo de resta.

🤓 Explicación Detallada de las Clases de Equivalencia

Cada número entero es una familia infinita de pares ordenados. La diferencia entre los componentes del par determina a qué familia pertenece:

  • Si \(a > b\), la clase \([(a, b)]\) representa un entero positivo (ej: \([(3, 1)]\) representa al \(+2\)).
  • Si \(a < b\), la clase \([(a, b)]\) representa un entero negativo (ej: \([(1, 3)]\) representa al \(-2\)).
  • Si \(a = b\), la clase \([(a, b)]\) representa al cero (ej: \([(2, 2)]\) representa al \(0\)).

Aunque hay infinitas formas de escribir el mismo número entero, la relación de equivalencia las une. Por ejemplo, todos los siguientes pares pertenecen a la misma clase (el entero +2): \[ [(3, 1)] = [(5, 3)] = [(100, 98)] \] Todos ellos son tratados como un único objeto matemático: el número 2.

⚠️ ¡No es un punto ni una fracción!

Es muy importante no confundir la notación. El par \((a, b)\) en este contexto no representa un punto en el plano cartesiano ni la fracción \(a/b\). Es una construcción específica para definir los números enteros.

📐 Definición de Operaciones en \(\mathbb{Z}\)

La suma y el producto de enteros se definen a partir de sus representantes como pares ordenados:

  • Suma: \[ [(a, b)] + [(c, d)] = [(a + c, b + d)] \]
  • Producto: \[ [(a, b)] \cdot [(c, d)] = [(ac + bd, ad + bc)] \]

Estas definiciones son consistentes, lo que significa que no importa qué par elijas de la clase de equivalencia, el resultado siempre pertenecerá a la misma clase de equivalencia final.

Ejemplo Numérico: Suma

Sumemos \(+2\) y \(+2\). Usaremos los representantes \([(3, 1)]\) para el primer \(+2\) y \([(4, 2)]\) para el segundo.

Definición: \( [(3, 1)] + [(4, 2)] = [(3 + 4, 1 + 2)] \)

Cálculo: \( = [(7, 3)] \)

Interpretación: La clase \([(7, 3)]\) representa el entero \(7 - 3 = 4\). Efectivamente, \(2 + 2 = 4\).

Ejemplo Numérico: Producto

Calculemos el producto de \(+2\) y \(-2\). Usaremos los representantes \([(3, 1)]\) para \(+2\) y \([(1, 3)]\) para \(-2\).

Definición: \( [(3, 1)] \cdot [(1, 3)] = [(3 \cdot 1 + 1 \cdot 3, 3 \cdot 3 + 1 \cdot 1)] \)

Cálculo: \( = [(3 + 3, 9 + 1)] = [(6, 10)] \)

Interpretación: La clase \([(6, 10)]\) representa el entero \(6 - 10 = -4\). Efectivamente, \(2 \cdot (-2) = -4\).

🤓 Conclusión

Esta construcción formal, aunque abstracta, es la que permite extender los números naturales (\(\mathbb{N}\)) al conjunto de los enteros (\(\mathbb{Z}\)) de una manera lógica y consistente. Nos asegura que los números negativos y el cero se comportan exactamente como esperamos, siguiendo reglas que se derivan directamente de la aritmética de los números naturales. Es un ejemplo perfecto de la elegancia y el rigor del pensamiento matemático.