2. Graficando Ecuaciones Lineales (Nivel 2): Despejando 'y'

Graficando Ecuaciones Lineales (Nivel 2): Despejando 'y'

¡Seguimos avanzando! En la página anterior, trabajamos con ecuaciones que ya estaban listas para graficar, en la forma \(y = ax + b\). Pero en la vida real, las ecuaciones a menudo vienen "desordenadas", como \(2x + y = 5\) o \(4x - 2y = 8\).

No te preocupes, el proceso de graficar es casi el mismo. Solo necesitamos agregar un primer paso crucial: ordenar la ecuación y despejar la 'y'.

🤓 ¿Por qué despejar 'y'?

Piensa en la ecuación como una máquina de fabricar puntos. Para que funcione, necesitas que la máquina esté configurada para producir un resultado ('y') a partir de un material que tú le das ('x'). Si la ecuación está desordenada, la máquina no sabe qué hacer. Despejar 'y' es, básicamente, "configurar la máquina" para que podamos empezar a darle valores a 'x' y obtener nuestros puntos (x, y) de forma clara y directa.

El Arte de Despejar una Variable

Despejar una variable es dejarla completamente sola a un lado del signo igual. Para lograrlo, movemos todo lo demás al otro lado, siguiendo una regla de oro.

📐 Procedimiento: La Regla de Oro del Despeje

Cualquier término que cruza el "puente" del signo igual (=) cambia a su operación contraria:

  • Si está sumando, pasa al otro lado restando.
  • Si está restando, pasa al otro lado sumando.
  • Si está multiplicando a todo un lado, pasa al otro lado dividiendo a todo.
  • Si está dividiendo a todo un lado, pasa al otro lado multiplicando a todo.

Nuestro objetivo: Dejar a la 'y' solita y positiva en el lado izquierdo de la ecuación.

Ejemplo A: \(3x + y = 5\)

Paso 1: Identificar qué le "molesta" a la 'y'.
El término \(3x\) está en el mismo lado, sumando. Para despejar 'y', debemos moverlo.

Paso 2: Mover el término al otro lado.
Como \(3x\) está sumando, pasa al otro lado restando.
\(y = 5 - 3x\)

¡Listo! Ahora la ecuación está en la forma que ya conocemos y podemos crear nuestra tabla de valores.

X Y = 5 - 3x Punto (x,y)
0 y = 5 - 3(0) = 5 (0, 5)
1 y = 5 - 3(1) = 2 (1, 2)
2 y = 5 - 3(2) = -1 (2, -1)

Ejemplo B: \(6x - 2y = 4\)

Paso 1: Mover el término con 'x'.
El \(6x\) está sumando, así que pasa restando.
\(-2y = 4 - 6x\)

⚠️ ¡Ojo con el signo! Un error muy común es olvidar el signo negativo que acompaña al término 'y'. El '2' no estaba restando, el término completo es '-2y'.

Paso 2: Despejar 'y' del número que la multiplica.
El -2 está multiplicando a la 'y'. Por lo tanto, pasa a dividir todo lo que está al otro lado.
\(y = \frac{4 - 6x}{-2}\)

Paso 3: Simplificar la expresión.
Dividimos cada término del numerador por -2.
\(y = \frac{4}{-2} - \frac{6x}{-2}\)
\(y = -2 - (-3x)\)
\(y = -2 + 3x\)

X Y = -2 + 3x Punto (x,y)
-1 y = -2 + 3(-1) = -5 (-1, -5)
0 y = -2 + 3(0) = -2 (0, -2)
1 y = -2 + 3(1) = 1 (1, 1)

¡A Ordenar y Graficar!

Ejercicios Propuestos

Para cada una de las siguientes ecuaciones, primero despeja la variable 'y' y luego crea una tabla con 3 puntos para graficar la relación.

  1. \(4x + y = 6\)
  2. \(y - 3x = 1\)
  3. \(2x - y = 5\)
  4. \(8x + 4y = 12\)
🌍 Una habilidad para toda la vida

Saber "despejar" una variable es una de las herramientas más poderosas del álgebra. No solo sirve para graficar. Se usa constantemente en ciencias, finanzas e ingeniería.

Por ejemplo, en física, la fórmula de velocidad es \(v = \frac{d}{t}\) (velocidad = distancia / tiempo). Si conoces la velocidad y el tiempo, y quieres saber la distancia, ¡debes despejar 'd'! \(d = v \cdot t\). Es exactamente la misma habilidad que acabamos de practicar.