Capitulo 6 sistemas de ecuaciones
7. Sistemas de Ecuaciones: ¿Qué Método Usar? La Estrategia
Sistemas de Ecuaciones: ¿Qué Método Usar? La Estrategia
Has aprendido tres métodos algebraicos muy potentes para resolver sistemas de ecuaciones. La pregunta del millón ahora es: ¿cuál uso en cada problema? Si bien técnicamente cualquier método puede resolver la mayoría de los sistemas, un buen matemático sabe elegir el camino más corto y eficiente. ¡Pensar estratégicamente te ahorrará tiempo y evitará errores!
Comparando Nuestros Métodos Algebraicos
Pensemos en cada método como una herramienta especializada. Aquí tienes una guía rápida para saber cuándo es ideal usar cada una.
| Método | Cuándo es ideal usarlo (Pistas Clave) | Ejemplo Típico donde Brilla |
|---|---|---|
| Sustitución ➡️ | ¡La pista más clara! Cuando una incógnita ya está despejada en una ecuación. O cuando una de las incógnitas tiene coeficiente 1 o -1 (es muy fácil de despejar). | \( \boldsymbol{y = 3x - 2} \) \( 5x + 2y = 7 \) |
| Igualación ⚖️ | Cuando la misma incógnita es fácil de despejar en ambas ecuaciones. ¡Es perfecto si ya tienes dos expresiones para 'x' o dos para 'y'! | \( \boldsymbol{x} = 4y - 1 \) \( \boldsymbol{x} = -2y + 5 \) |
| Reducción (Suma/Resta) ✨ | Cuando los coeficientes de una incógnita son iguales u opuestos (ej: +3y y -3y). O cuando son múltiplos (ej: 2x y 4x). Es el método más rápido para la mayoría de los casos. | \( 3x \boldsymbol{+ 2y} = 7 \) \( 5x \boldsymbol{- 2y} = 1 \) |
Ejercicios Mixtos: Elige, Justifica y Resuelve
A continuación, te presentamos una serie de sistemas. Para cada uno, primero indica qué método crees que es el más eficiente y por qué. Luego, resuélvelo.
1. \( y = 2x + 5 \)
\( 3x - 2y = -8 \)
Método recomendado: Sustitución. Por qué: La 'y' ya está despejada.
Resolución: \( 3x - 2(2x+5) = -8 \Rightarrow 3x - 4x - 10 = -8 \Rightarrow -x = 2 \Rightarrow x = -2 \).
Luego, \( y = 2(-2) + 5 = 1 \).
Solución: (-2, 1)
2. \( 4x + 5y = 1 \)
\( 3x - 5y = 13 \)
Método recomendado: Reducción. Por qué: Los coeficientes de 'y' son opuestos (+5y y -5y).
Resolución: Sumando las ecuaciones: \( 7x = 14 \Rightarrow x = 2 \).
Luego, \( 4(2) + 5y = 1 \Rightarrow 8 + 5y = 1 \Rightarrow 5y = -7 \Rightarrow y = -\frac{7}{5} \).
Solución: (2, \(-\frac{7}{5}\))
3. \( x = 3y - 7 \)
\( x = -2y + 8 \)
Método recomendado: Igualación. Por qué: La 'x' está despejada en ambas ecuaciones.
Resolución: \( 3y - 7 = -2y + 8 \Rightarrow 5y = 15 \Rightarrow y = 3 \).
Luego, \( x = 3(3) - 7 = 2 \).
Solución: (2, 3)
4. \( 2x + y = 9 \)
\( 4x - 3y = 13 \)
Método recomendado: Sustitución o Reducción.
Sustitución: Es fácil despejar 'y' en la primera ecuación (\(y = 9 - 2x\)).
Reducción: Es fácil multiplicar la primera ecuación por 3 para eliminar 'y'. Ambas son buenas opciones.
Resolución (por Sustitución): \( 4x - 3(9 - 2x) = 13 \Rightarrow 4x - 27 + 6x = 13 \Rightarrow 10x = 40 \Rightarrow x = 4 \).
Luego, \( y = 9 - 2(4) = 1 \).
Solución: (4, 1)
5. \( x - 6y = 10 \)
\( 3x + 4y = 1 \)
Método recomendado: Sustitución. Por qué: La 'x' en la primera ecuación tiene coeficiente 1, muy fácil de despejar.
Resolución: \( x = 10 + 6y \). Sustituyendo: \( 3(10 + 6y) + 4y = 1 \Rightarrow 30 + 18y + 4y = 1 \Rightarrow 22y = -29 \Rightarrow y = -\frac{29}{22} \).
Luego, \( x = 10 + 6(-\frac{29}{22}) = 10 - \frac{87}{11} = \frac{23}{11} \).
Solución: (\(\frac{23}{11}, -\frac{29}{22}\))
6. \( 3x + 4y = 15 \)
\( 5x - 3y = 11 \)
Método recomendado: Reducción. Por qué: Ninguna variable es fácil de despejar. Reducción es más ordenado, multiplicando la primera por 3 y la segunda por 4 para eliminar 'y'.
Resolución: \( (9x + 12y = 45) + (20x - 12y = 44) \Rightarrow 29x = 89 \Rightarrow x = \frac{89}{29} \).
Luego, \( 3(\frac{89}{29}) + 4y = 15 \Rightarrow 4y = 15 - \frac{267}{29} = \frac{168}{29} \Rightarrow y = \frac{42}{29} \).
Solución: (\(\frac{89}{29}, \frac{42}{29}\))
7. \( \frac{1}{2}x + y = 4 \)
\( x - y = 2 \)
Método recomendado: Reducción. Por qué: Aunque hay una fracción, los coeficientes de 'y' ya son opuestos (+1 y -1).
Resolución: Sumando las ecuaciones: \( \frac{3}{2}x = 6 \Rightarrow x = 4 \).
Luego, \( 4 - y = 2 \Rightarrow y = 2 \).
Solución: (4, 2)
8. \( y = -4x + 2 \)
\( 3y = 9 - 2x \)
Método recomendado: Sustitución. Por qué: La 'y' ya está despejada en la primera ecuación.
Resolución: \( 3(-4x + 2) = 9 - 2x \Rightarrow -12x + 6 = 9 - 2x \Rightarrow -10x = 3 \Rightarrow x = -\frac{3}{10} \).
Luego, \( y = -4(-\frac{3}{10}) + 2 = \frac{12}{10} + 2 = \frac{32}{10} = \frac{16}{5} \).
Solución: (\(-\frac{3}{10}, \frac{16}{5}\))
9. \( 7x - 2y = 12 \)
\( 5x + 2y = 12 \)
Método recomendado: Reducción. Por qué: Los coeficientes de 'y' son opuestos.
Resolución: Sumando las ecuaciones: \( 12x = 24 \Rightarrow x = 2 \).
Luego, \( 7(2) - 2y = 12 \Rightarrow 14 - 2y = 12 \Rightarrow -2y = -2 \Rightarrow y = 1 \).
Solución: (2, 1)
10. \( y = \frac{x}{2} + 1 \)
\( y = \frac{x}{3} + 2 \)
Método recomendado: Igualación. Por qué: La 'y' está despejada en ambas.
Resolución: \( \frac{x}{2} + 1 = \frac{x}{3} + 2 \). Multiplicando por 6: \( 3x + 6 = 2x + 12 \Rightarrow x = 6 \).
Luego, \( y = \frac{6}{2} + 1 = 4 \).
Solución: (6, 4)
11. \( 6x + 5y = 2 \)
\( 2x - y = 10 \)
Método recomendado: Sustitución. Por qué: Es muy fácil despejar '-y' en la segunda ecuación.
Resolución: \( y = 2x - 10 \). Sustituyendo: \( 6x + 5(2x - 10) = 2 \Rightarrow 6x + 10x - 50 = 2 \Rightarrow 16x = 52 \Rightarrow x = \frac{52}{16} = \frac{13}{4} \).
Luego, \( y = 2(\frac{13}{4}) - 10 = \frac{13}{2} - 10 = -\frac{7}{2} \).
Solución: (\(\frac{13}{4}, -\frac{7}{2}\))
12. \( 2x = 5 - 3y \)
\( 4x = 1 - 5y \)
Método recomendado: Reducción. Por qué: Es fácil hacer que los coeficientes de 'x' sean opuestos multiplicando la primera ecuación por -2.
Resolución: Multiplicando la 1ra por -2: \( -4x = -10 + 6y \). Sumando a la 2da: \( 0 = -9 + y \Rightarrow y = 9 \).
Luego, \( 2x = 5 - 3(9) \Rightarrow 2x = -22 \Rightarrow x = -11 \).
Solución: (-11, 9)
No hay un método "malo", solo hay métodos más eficientes para ciertos problemas. Con la práctica, tu cerebro se entrenará para "ver" el camino más corto casi al instante. ¡Confía en tu intuición de estratega!