Capitulo 6 sistemas de ecuaciones
9. Sistemas de Ecuaciones: Profundización con la Regla de Cramer
Sistemas de Ecuaciones: Profundización con la Regla de Cramer
Hasta ahora, hemos resuelto sistemas "paso a paso". La Regla de Cramer, nombrada así por el matemático Gabriel Cramer, es distinta: es un método que nos da una fórmula directa para encontrar la solución. Para usarla, primero debemos aprender a calcular un número mágico llamado determinante.
El Corazón del Método: Calcular un Determinante 2x2
Un determinante es un número único que se calcula a partir de un arreglo cuadrado de números. Para un sistema 2x2, trabajaremos con arreglos de 2x2.
Dado un arreglo de números organizados así:
\( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \)
Su determinante, que se escribe como \( \Delta \) o con barras verticales, se calcula de la siguiente manera:
Determinante = (producto de la diagonal principal) - (producto de la otra diagonal)
$$ \Delta = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = a \cdot d - c \cdot b $$
Ejemplo numérico: Calculemos el determinante de \( \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} \).
\( \Delta = (5 \cdot 3) - (4 \cdot 2) = 15 - 8 = 7 \). El determinante es 7.
La Regla de Cramer para Sistemas 2x2
Para un sistema de la forma:
\( ax + by = c \)
\( dx + ey = f \)
La Regla de Cramer nos dice que la solución (x, y) se encuentra calculando tres determinantes:
- Determinante del Sistema (\( \Delta_S \)): Se forma con los coeficientes de 'x' e 'y'.
\( \Delta_S = \begin{vmatrix} a & b \\ d & e \end{vmatrix} \) - Determinante de X (\( \Delta_x \)): Se toma el determinante del sistema y se reemplaza la columna de las 'x' por la columna de los resultados.
\( \Delta_x = \begin{vmatrix} c & b \\ f & e \end{vmatrix} \) - Determinante de Y (\( \Delta_y \)): Se toma el determinante del sistema y se reemplaza la columna de las 'y' por la columna de los resultados.
\( \Delta_y = \begin{vmatrix} a & c \\ d & f \end{vmatrix} \)
Finalmente, las soluciones son simplemente:
$$ x = \frac{\Delta_x}{\Delta_S} \quad , \quad y = \frac{\Delta_y}{\Delta_S} $$
La Regla de Cramer solo funciona si el Determinante del Sistema (\( \Delta_S \)) es distinto de cero. Si \( \Delta_S = 0 \), significa que las rectas son paralelas (sin solución) o coincidentes (infinitas soluciones), y este método no puede usarse.
Ejemplo Resuelto
Resolvamos el sistema:
\( 2x + 3y = 8 \)
\( 5x + 4y = 13 \)
1. Calcular \( \Delta_S \):
\( \Delta_S = \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 4 \end{vmatrix} = (2 \cdot 4) - (5 \cdot 3) = 8 - 15 = -7 \)
2. Calcular \( \Delta_x \): (Reemplazamos la columna de 'x' por los resultados 8 y 13)
\( \Delta_x = \begin{vmatrix} 8 & 3 \\ 13 & 4 \end{vmatrix} = (8 \cdot 4) - (13 \cdot 3) = 32 - 39 = -7 \)
3. Calcular \( \Delta_y \): (Reemplazamos la columna de 'y' por los resultados 8 y 13)
\( \Delta_y = \begin{vmatrix} 2 & 8 \\ 5 & 13 \end{vmatrix} = (2 \cdot 13) - (5 \cdot 8) = 26 - 40 = -14 \)
4. Encontrar la solución:
\( x = \frac{\Delta_x}{\Delta_S} = \frac{-7}{-7} = 1 \)
\( y = \frac{\Delta_y}{\Delta_S} = \frac{-14}{-7} = 2 \)
Solución: (1, 2)
Ejercicios Propuestos
1. Resuelve usando la Regla de Cramer:
\( 5x + 2y = 11 \)
\( 3x - y = 5 \)
\( \Delta_S = (5 \cdot -1) - (3 \cdot 2) = -11 \)
\( \Delta_x = (11 \cdot -1) - (5 \cdot 2) = -21 \)
\( \Delta_y = (5 \cdot 5) - (3 \cdot 11) = -8 \)
Corrección: Se detectó un error en los cálculos de Δx y Δy.
\( \Delta_x = (11 \cdot -1) - (5 \cdot 2) = -11 - 10 = -21 \). Error. Debe ser \( \Delta_x = (11 \cdot -1) - (2 \cdot 5) = -11 - 10 = -21 \).
\( \Delta_S = (5)(-1) - (2)(3) = -5-6 = -11 \)
\( \Delta_x = (11)(-1) - (2)(5) = -11-10 = -21 \)
\( \Delta_y = (5)(5) - (11)(3) = 25-33 = -8 \)
Solución: (\(\frac{21}{11}\), \(\frac{8}{11}\)). Los cálculos iniciales de la solución estaban mal, aquí está la versión correcta.
2. Resuelve usando la Regla de Cramer:
\( 4x - 3y = 10 \)
\( 2x + 5y = 18 \)
\( \Delta_S = (4 \cdot 5) - (2 \cdot -3) = 20 - (-6) = 26 \)
\( \Delta_x = (10 \cdot 5) - (18 \cdot -3) = 50 - (-54) = 104 \)
\( \Delta_y = (4 \cdot 18) - (2 \cdot 10) = 72 - 20 = 52 \)
\( x = \frac{104}{26} = 4 \)
\( y = \frac{52}{26} = 2 \)
Solución: (4, 2)
3. Intenta resolver con la Regla de Cramer:
\( 2x + 6y = 5 \)
\( x + 3y = 1 \)
\( \Delta_S = (2 \cdot 3) - (1 \cdot 6) = 6 - 6 = 0 \)
Respuesta: No se puede resolver por la Regla de Cramer porque el determinante del sistema es cero. Esto indica que las rectas son paralelas (no hay solución).
La Regla de Cramer es una aplicación del Álgebra Lineal, una rama de las matemáticas que trabaja con vectores y matrices. Lo que hemos hecho es la punta del iceberg. Este método se puede extender para resolver sistemas mucho más grandes (3x3, 4x4, etc.) y es la base de muchos algoritmos computacionales que resuelven problemas complejos en ciencia, ingeniería y economía.