Homotecia - Página 6: Semejanza de Figuras

Introducción

Dos figuras son semejantes cuando una puede obtenerse de la otra mediante ampliaciones o reducciones (homotecias) y/o movimientos rígidos (rotaciones, traslaciones, reflexiones). Conservan la forma pero pueden cambiar de tamaño.

Definición de Semejanza

Figuras \(F\) y \(F'\) son semejantes si existe un factor \(|k|\neq 0\) tal que las longitudes se relacionan en proporción constante y los ángulos correspondientes son iguales.

Elementos Clave

• Ángulos Iguales: Un rasgo esencial en la semejanza.
• Razón de Lados: Si un lado mide \(a\) y su correspondiente \(a'\), entonces \(\frac{a'}{a} = k\) (el mismo \(k\) para todos los pares de lados).
• Criterios de Semejanza (triángulos): AA, LAL, LLL.

Ejemplos

Ejemplo 1: Un cuadrado de lado 2 y otro de lado 6 son semejantes con factor 3. Los ángulos (90°) son iguales y la razón de lados es 3.

Ejemplo 2: Triángulos con ángulos \(60^\circ, 40^\circ, 80^\circ\) y distintos tamaños son semejantes, pues comparten ángulos.

Práctica

Aquí tendrás 10 ejercicios (3 conceptuales, 7 prácticos) + 4 problemas.

Ejercicios

1. (Conceptual) ¿Por qué se dice que la semejanza mantiene la forma pero no el tamaño?

   Solución: Los ángulos se conservan (la forma no cambia), pero las longitudes se escalan por un factor \(|k|\) (el tamaño puede variar).

2. (Conceptual) Explica el rol de la homotecia en la definición de figuras semejantes.

   Solución: Una homotecia (más posibles giros/traslaciones) permite pasar de una figura a otra con ángulos idénticos y lados proporcionales, fundamento de la semejanza.

3. (Conceptual) ¿Cómo se relacionan la semejanza y la congruencia?

   Solución: La congruencia es un caso particular de semejanza con factor \(k=1\). Es decir, mismas dimensiones y misma forma.

4. (Práctica) Comprueba con un dibujo que dos triángulos con ángulos correspondientes iguales son semejantes. Mide sus lados para confirmar la misma razón.

   Solución (guía): - Dibuja 2 triángulos con ángulos (ej. 30°, 60°, 90°). - Mide sus lados para ver si \(\frac{a'}{a} = \frac{b'}{b} = \frac{c'}{c}\). - Concluye que comparten forma.

5. (Práctica) Si un triángulo rectángulo tiene lados (3,4,5) y otro tiene (6,8,10), comprueba la semejanza midiendo la razón.

   Solución: La razón es 2: \(\frac{6}{3}=\frac{8}{4}=\frac{10}{5}=2\). Ángulos coinciden, por tanto son semejantes.

6. (Práctica) Menciona un caso en que dos figuras no sean semejantes. Dibuja un ejemplo.

   Solución: Un rectángulo 2×3 y otro 2×4 no guardan la misma razón de lados, no tienen la misma forma. Ángulos coinciden (rectos), pero la forma es distinta por la proporción de lados.

7. (Práctica) Si dos polígonos regulares (por ejemplo, hexágonos) difieren solo en tamaño, justifica que son semejantes.

   Solución: Polígonos regulares del mismo número de lados tienen ángulos iguales. Solo cambia la longitud de los lados, escalada por \(|k|\). Luego son semejantes.

8. (Práctica) Realiza un experimento con fotocopias: amplía una figura en 150% y mide los ángulos antes y después. ¿Qué observas?

   Solución: Los ángulos no cambian; los lados sí, se alargan 1.5 veces. Esto muestra una semejanza (homotecia) en la fotocopia ampliada.

9. (Práctica) Explica la relación entre el factor de semejanza y la proporción de perímetros en figuras semejantes.

   Solución: Si el factor es \(k\), cada lado se multiplica por \(k\). El perímetro total también se multiplica por \(k\).

10. (Práctica) ¿Qué le ocurre a las áreas en dos figuras semejantes con factor \(k\)?

    Solución: Las áreas se multiplican por \(k^2\). Esto se puede ver en triángulos, polígonos e incluso sólidos (donde el factor volumétrico sería \(k^3\)).

Problemas

1. Dos pentágonos regulares tienen lados 3 cm y 9 cm. ¿Cuál es la razón de semejanza? ¿En qué razón se transforman sus perímetros?

   Solución: La razón lineal es \(\frac{9}{3}=3\). Los perímetros también están en razón 3:1, pues cada lado se multiplica por 3.

2. Dos triángulos semejantes tienen áreas en razón 1:4. ¿Cuál es la razón de sus lados?

   Solución: Si \(\text{área}_2 = 4 \cdot \text{área}_1\), la razón lineal de lados es \(\sqrt{4}=2\). Por tanto \(k=2\).

3. Construye un ejemplo de dos figuras planas cualesquiera y demuestra (midiendo) que son semejantes (o que no lo son).

   Solución (pauta): - Dibuja dos polígonos. - Mide lados y ángulos. - Si \(\frac{l'_1}{l_1} = \frac{l'_2}{l_2} = ...\) y los ángulos correspondientes son iguales, son semejantes; de lo contrario, no.

4. Si duplicas cada dimensión de un rectángulo 2×3 para obtener 4×6, ¿cómo se relacionan perímetros y áreas? Verifícalo con números.

   Solución: - El perímetro pasa de \(2(2+3)=10\) a \(2(4+6)=20\) (factor 2). - El área pasa de \(2 \times 3=6\) a \(4 \times 6=24\) (factor 4 = \(2^2\)).